「HAOI 2018」染色

Problem

Description

给定数组 w ,定义数组 a 的权值为 w_{k} ,其中 k 为数组 a 中出现恰好 S 次的数字种数。
求所有长度为 n ,元素值域为 [1, m] 的数组 a 的权值之和。

答案对 1004535809 取模。

Constraints

1\le n\le 10^{7},1\le m\le 10^{5},1\le S\le 150,0\le w_{i}<1004535809

Solution

Analysis

考虑枚举出现 S 次的数字种数 k
设出现 S 次的数字种数为 k 的方案数为 f_{k} ,有:

f_{k}=\binom{m}{k}\binom{n}{kS}\frac{\left(kS\right)!}{S!^{k}}g\left(n-kS,m-k\right)

其中 g\left(l,t\right) 为用 t 种不同数字填满长为 l 的数组且出现恰好 S 次的数字种数为 0 的方案数。

发现 g 不容易直接求,考虑容斥。
h\left(l,t,c\right) 为用 t 种不同数字填满长为 l 的数组且出现恰好 S 次的数字种数不少于 c 的方案数,容易有:

\begin{aligned} h\left(l,t,c\right)&=\binom{t}{c}\binom{l}{cS}\frac{\left(cS\right)!}{S!^{c}}\left(t-c\right)^{l-cS}\\ g\left(l,t\right)&=\sum_{c=0}^{t}(-1)^{c}h\left(l,t,c\right)\\ &=\sum_{c=0}^{t}(-1)^{c}\binom{t}{c}\binom{l}{cS}\frac{\left(cS\right)!}{S!^{c}}\left(t-c\right)^{l-cS} \end{aligned}

\begin{aligned} f_{k}&=\binom{m}{k}\binom{n}{kS}\frac{\left(kS\right)!}{S!^{k}}g\left(n-kS,m-k\right)\\ &=\binom{m}{k}\binom{n}{kS}\frac{\left(kS\right)!}{S!^{k}}\sum_{c=0}^{m-k}(-1)^{c}\binom{m-k}{c}\binom{n-kS}{cS}\frac{\left(cS\right)!}{S!^{c}}\left(m-k-c\right)^{n-kS-cS}\\ &=\frac{m!n!\left(kS\right)!}{k!\left(m-k\right)!\left(kS\right)!\left(n-kS\right)!S!^{k}}\sum_{c=0}^{m-k}\frac{(-1)^{c}\left(m-k\right)!\left(n-kS\right)!\left(cS\right)!\left(m-k-c\right)^{n-kS-cS}}{c!\left(m-k-c\right)!\left(cS\right)!\left(n-kS-cS\right)!S!^{c}}\\ &=\frac{m!n!}{k!}\sum_{c=0}^{m-k}\frac{(-1)^{c}\left(m-k-c\right)^{n-kS-cS}}{c!\left(m-k-c\right)!\left(n-kS-cS\right)!S!^{k+c}} \end{aligned}

\left\{s_{n}\right\},\left\{t_{n}\right\}

\begin{aligned} s_{k}&=\frac{(-1)^{k}}{k!}\\ t_{k}&=\frac{\left(m-k\right)^{n-kS}}{\left(m-k\right)!\left(n-kS\right)!S!^{k}} \end{aligned}

则:

\begin{aligned} f_{k}&=\frac{m!n!}{k!}\sum_{c=0}^{m-k}\frac{(-1)^{c}\left(m-k-c\right)^{n-kS-cS}}{c!\left(m-k-c\right)!\left(n-kS-cS\right)!S!^{k+c}}\\ &=\frac{m!n!}{k!}\sum_{c=0}^{m-k}s_{c}t_{k+c} \end{aligned}

答案即为

\begin{aligned} \sum_{k=0}^{m}w_{k}f_{k} &=m!n!\sum_{k=0}^{m}\frac{w_{k}}{k!}\sum_{c=0}^{m-k}s_{c}t_{k+c} \end{aligned}

反转序列并卷积解决即可。

时间复杂度 O(n \log{n})

Code

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#include<cstdio>

using i64=long long;
using uchar=unsigned char;

constexpr int maxm(10000000);
constexpr int mxdg(262144);
constexpr int p(1004535809);
constexpr int proot(3);

namespace IOManager{
constexpr int FILESZ(131072);
char buf[FILESZ];
const char*ibuf=buf,*tbuf=buf;

struct IOManager{
inline char gc()
{return(ibuf==tbuf)&&(tbuf=(ibuf=buf)+fread(buf,1,FILESZ,stdin),ibuf==tbuf)?EOF:*ibuf++;}

template<typename _Tp>
inline operator _Tp(){
_Tp s=0u;char c=gc();
for(;c<48;c=gc());
for(;c>47;c=gc())
s=(_Tp)(s*10u+c-48u);
return s;
}
};
}IOManager::IOManager io;

namespace math{
using Z=int;
using mZ=long long;

template<typename _Tp>
inline void swap(_Tp&x,_Tp&y)
{_Tp z=x;x=y;y=z;}

template<typename _Tp>
inline Z fpow(_Tp v,int n){
Z pw=1;
for(;n;n>>=1,v=(mZ)v*v%p)
if(n&1)pw=(mZ)pw*v%p;
return pw;
}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void inc(x_tp&x,const y_tp&y)
{x+=y;(p<=x)&&(x-=p);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void dec(x_tp&x,const y_tp&y)
{x-=y;(x<0)&&(x+=p);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z pls(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(p<=x+y)?(x+y-p):(x+y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z sub(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)?(x-y+p):(x-y);}

template<typename _Tp>
inline _Tp Min(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return x<y?x:y;}
template<typename _Tp>
inline _Tp Max(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return x>y?x:y;}
}

namespace poly{
using namespace math;

using poly_t=Z[mxdg];
using poly=Z*const;

inline int calcpw2(const int&n){
int t=1;
for(;t<n;t<<=1);
return t;
}

poly_t wn,iwn;

inline void polyinit(){
const Z wnv=fpow(proot,(p-1)/mxdg),
iwnv=fpow(wnv,p-2);
wn[0]=iwn[0]=1;

Z w=1,iw=1;
for(int i=1;i!=mxdg;++i){
w=(mZ)w*wnv%p;wn[i]=w;
iw=(mZ)iw*iwnv%p;iwn[i]=iw;
}
}

void DFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=wn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);
}
void IDFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=iwn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);

const Z invn=fpow(n,p-2);
for(Z*i=A;i!=td;++i)
*i=(mZ)*i*invn%p;
}
}

using namespace poly;

int invFac[maxm+1];

inline int fac(const int&n){
int v=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
v=(i64)v*i%p;
return v;
}

poly_t f,g;

int main(){
polyinit();

const int n=io,m=io,s=io,pn=Max(n,m);

invFac[0]=invFac[1]=1;
int v=fpow(fac(pn),p-2);
for(int i=pn;i!=1;--i)
invFac[i]=v,
v=(i64)v*i%p;

const int N=Min(n/s,m),deg=calcpw2(N+N+1),ifacs=invFac[s];

for(int k=0,iprd=1,S=n;k<=N;++k,iprd=(i64)iprd*ifacs%p,S-=s)
f[k]=(i64)fpow(m-k,S)*iprd%p*invFac[m-k]%p*invFac[S]%p;
for(int k=0;k<=N;k+=2)
g[N-k]=invFac[k];
for(int k=1;k<=N;k+=2)
g[N-k]=p-invFac[k];

DFT(f,deg);DFT(g,deg);
for(int i=0;i!=deg;++i)
f[i]=(i64)f[i]*g[i]%p;
IDFT(f,deg);

i64 ans=0;
for(int k=0;k<=N;++k)
ans+=(i64)((int)io)*f[N+k]%p*invFac[k]%p;
printf("%d",(ans%p+p)*fpow(invFac[n],p-2)%p*fpow(invFac[m],p-2)%p);

return 0;
}