「AtCoder Grand Contest 005」F. Many Easy Problems

Problem

Description

给定一棵 n 个点的树,定义 f(k)

f(k)=\sum_{S\subseteq V,|S| = k}\left|g(S)\right|

其中 g(S) 为包含点集 S 的最小树上连通块。
对于所有 k \in[1, n] 求出 f(k)

答案对 924844033 取模。

Constraints

2\le n\le 2\times 10^{5}

Solution

Analysis

可以发现一个点对 f(k) 的贡献即为使其在 g(S) 中的方案数。
u\notin g(S) 当且仅当以 u 为根时 k 个点都在其的某一个儿子的子树中。
\operatorname{size}{(u, v)} 为以 u 为根时节点 v 的子树大小,则:

f(k)=\sum_{u=1}^{n}\left(\binom{n}{k}-\sum_{\left<u,v\right>\in E}\binom{\operatorname{size}{(u, v)}}{k}\right)

又注意到 \operatorname{size}{(u, v)} 的取值只有 n 种,且由于上式满足 \left<u,v\right>\in E ,则总共只有 2|E|=2n-2 \operatorname{size}{(u, v)}

t_{k}

t_{k}:=\sum_{\left<u,v\right>\in E}\left[\operatorname{size}{(u, v)}=k\right]

显然 \left\{t_{n}\right\} 可以用一次 DFS 在 O(n) 的时间复杂度内求出,则:

\begin{aligned} f(k)&=\sum_{u=1}^{n}\left(\binom{n}{k}-\sum_{\left<u,v\right>\in E}\binom{\operatorname{size}{(u, v)}}{k}\right)\\ &=n\binom{n}{k}-\sum_{u=1}^{n}\sum_{\left<u,v\right>\in E}\binom{\operatorname{size}{(u, v)}}{k}\\ &=n\binom{n}{k}-\sum_{i=1}^{n}t_{i}\binom{i}{k}\\ &=n\binom{n}{k}-\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^{n}\frac{t_{i}i!}{\left(i-k\right)!} \end{aligned}

预处理阶乘并卷积解决即可。

时间复杂度 O(n \log{n})

Code

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#include<cstdio>
#include<algorithm>

using i64=long long;
using uchar=unsigned char;

constexpr int maxn(200000);
constexpr int mxdg(524288);
constexpr int p(924844033);
constexpr int proot(5);

namespace math{
using Z=int;
using mZ=long long;

template<typename _Tp>
inline void swap(_Tp&x,_Tp&y)
{_Tp z=x;x=y;y=z;}

template<typename _Tp>
inline Z fpow(_Tp v,int n){
Z pw=1;
for(;n;n>>=1,v=(i64)v*v%p)
if(n&1)pw=(i64)pw*v%p;
return pw;
}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void inc(x_tp&x,const y_tp&y)
{(p-y<=x)?(x+=y-p):(x+=y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void dec(x_tp&x,const y_tp&y)
{x-=y;(x<0)&&(x+=p);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z pls(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<p-y)?(x+y):(x-p+y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z sub(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)?(x-y+p):(x-y);}

template<typename _Tp>
inline Z sqr(const _Tp&v)
{return(mZ)v*v%p;}
}

namespace IOManager{
constexpr int FILESZ(131072);
char buf[FILESZ];
const char *ibuf(buf),*tbuf(buf);

struct IOManager{
inline char gc()
{return(ibuf==tbuf)&&(tbuf=(ibuf=buf)+fread(buf,1,FILESZ,stdin),ibuf==tbuf)?EOF:*ibuf++;}
template<typename _Tp>
inline operator _Tp(){
_Tp s=0;char c=gc();
for(;c<48;c=gc());
for(;47<c;c=gc())
s=s*10+c-48;
return s;
}
};
}IOManager::IOManager io;

namespace poly{
using namespace math;

using poly_t=Z[mxdg];
using poly=Z*const;

inline int calcpw2(const int&n){
int t=1;
for(;t<n;t<<=1);
return t;
}

poly_t wn,iwn;

inline void polyinit(){
const Z wnv=fpow(proot,(p-1)/mxdg),
iwnv=fpow(wnv,p-2);
wn[0]=iwn[0]=1;

Z w=1,iw=1;
for(int i=1;i!=mxdg;++i){
w=(mZ)w*wnv%p;wn[i]=w;
iw=(mZ)iw*iwnv%p;iwn[i]=iw;
}
}

void DFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=wn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);
}
void IDFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=iwn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);
}
}

struct Edge{
int v;Edge*las;
inline Edge* init(const int&to,Edge*const&ls)
{return v=to,las=ls,this;}
}*las[maxn+1];

inline void lnk(){
static Edge pool[maxn<<1],*alc=pool-1;
const int u=io,v=io;
las[u]=(++alc)->init(v,las[u]);
las[v]=(++alc)->init(u,las[v]);
}

int sz[maxn+1],
cnt[maxn+1];

void precalc(const int&u,const int&fa){
sz[u]=1;
for(Edge*o=las[u];o;o=o->las)
if(o->v!=fa)
precalc(o->v,u),
sz[u]+=sz[o->v];
}

int Fac[maxn+1],
invFac[maxn+1];

inline int C(const int&n,const int&k)
{return(i64)Fac[n]*invFac[k]%p*invFac[n-k]%p;}

using namespace poly;

poly_t f,g;

int main(){
polyinit();

const int n=io;
for(int i=n-1;i!=0;--i)
lnk();

precalc(1,0);
for(int i=2;i<=n;++i)
++cnt[sz[i]],
++cnt[n-sz[i]];

int v=1;
Fac[0]=Fac[1]=invFac[0]=invFac[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
v=(i64)v*i%p,
Fac[i]=v;
v=fpow(v,p-2);
for(int i=n;i!=1;--i)
invFac[i]=v,
v=(i64)v*i%p;

for(int i=1;i<=n;++i)
f[i]=(i64)cnt[i]*Fac[i]%p;
std::reverse_copy(invFac,invFac+n+1,g);

const int deg(calcpw2(n+n)),invdeg(fpow(deg,p-2));

DFT(f,deg);DFT(g,deg);
for(int i=0;i!=deg;++i)
f[i]=(i64)f[i]*g[i]%p;
IDFT(f,deg);

for(int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",sub((i64)n*C(n,i)%p,(i64)f[n+i]*invdeg%p*invFac[i]%p));

return 0;
}