「BZOJ 4836」二元运算

Problem

Description

现有二元运算 \operatorname{opt} 定义如下:

x\operatorname{opt}{y}=\begin{cases} x+y&x<y\\ x-y&x\ge y \end{cases}

给定长为 n 的数组 a 和长为 m 的数组 b

q 次询问,每次给出一个 c ,问有多少对 (i, j) 满足 a_{i}\operatorname{opt}{b_{j}}=c

Constraints

1\le n,m\le 5\times 10^{4},0\le a_{i},b_{i}\le 5\times 10^{4},0\le c\le 10^{5}

Solution

Analysis

注意到 \operatorname{opt} 运算需要分类讨论,考虑对值域分治。

对于当前分治区间 [l, r] ,将其折半分成两个值域区间 [l, m],[m + 1, r] ,则:

\forall i\in[l, m], j \in[m + 1, r] : i\operatorname{opt}{j} = i + j

\forall i\in[m + 1, r], j \in[l, m] : i\operatorname{opt}{j} = i - j

这两种形式都可以使用卷积解决,计算这两种情况的贡献并递归处理两个子区间即可。

时间复杂度 O\left(U\log^{2}{U}\right)

Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using i64=long long;
using uchar=unsigned char;

constexpr int mxdg(131072);
constexpr int mxval(50000);
const double pi(acos(-1.));

namespace IOManager{
constexpr int FILESZ(131072);
char buf[FILESZ];
const char*ibuf=buf,*tbuf=buf;

struct IOManager{
inline char gc()
{return(ibuf==tbuf)&&(tbuf=(ibuf=buf)+fread(buf,1,FILESZ,stdin),ibuf==tbuf)?EOF:*ibuf++;}

template<typename _Tp>
inline operator _Tp(){
_Tp s=0u;char c=gc();
for(;c<48;c=gc());
for(;c>47;c=gc())
s=(_Tp)(s*10u+c-48u);
return s;
}
};
}IOManager::IOManager io;

template<typename _Tp>
inline void swap(_Tp&x,_Tp&y)
{_Tp z=x;x=y;y=z;}

template<typename _Tp>
struct Complex{
_Tp r,i;

Complex(const _Tp&rb=(_Tp)(0),const _Tp&ib=(_Tp)(0))
:r(rb),i(ib){}

inline Complex operator+(const Complex&rhs)
const{return Complex(r+rhs.r,i+rhs.i);}
inline Complex operator-(const Complex&rhs)
const{return Complex(r-rhs.r,i-rhs.i);}
inline Complex operator*(const Complex&rhs)
const{return Complex(r*rhs.r-i*rhs.i,r*rhs.i+i*rhs.r);}
inline Complex operator/(const Complex&rhs)const{
_Tp fm=rhs.r*rhs.r+rhs.i*rhs.i;
return Complex((r*rhs.r+i*rhs.i)/fm,(i*rhs.r-r*rhs.i)/fm);
}

inline Complex&operator+=(const Complex&rhs)
{return r+=rhs.r,i+=rhs.i,*this;}
inline Complex&operator-=(const Complex&rhs)
{return r-=rhs.r,i-=rhs.i,*this;}
inline Complex&operator*=(const Complex&rhs)
{return*this=*this*rhs;}
inline Complex&operator/=(const Complex&rhs)
{return*this=*this/rhs;}

inline Complex conj()
const{return Complex(r,-i);}
};
using cpx=Complex<double>;

inline int calcpw2(const int&n){
int t=1;
for(;t<n;t<<=1);
return t;
}

cpx wn[mxdg],iwn[mxdg];

inline void polyinit(){
constexpr double pi2(pi*2);
for(int i=0;i!=mxdg;++i)
wn[i]=cpx(cos(pi2*i/mxdg),sin(pi2*i/mxdg)),
iwn[i]=wn[i].conj();
}

void DFT(cpx*const&A,const int&deg){
for(int i=0,j=0;i!=deg;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=deg>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
cpx*const td=A+deg;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=deg;l+=l,tp>>=1)
for(cpx*i=A,z,*w;i<td;i+=l+l)
for(int j=(w=wn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=i[j+l]**w,
i[j+l]=i[j]-z,
i[j]+=z;
}
void IDFT(cpx*const&A,const int&deg){
for(int i=0,j=0;i!=deg;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=deg>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
cpx*const td=A+deg;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=deg;l+=l,tp>>=1)
for(cpx*i=A,z,*w;i<td;i+=l+l)
for(int j=(w=iwn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=i[j+l]**w,
i[j+l]=i[j]-z,
i[j]+=z;
for(int i=0;i!=deg;++i)
A[i].r/=deg;
}


i64 ans[(mxval<<1)+1];
int f[mxval+1],g[mxval+1];
cpx tf[mxdg],tg[mxdg];

void calc(const int&l,const int&r){
if(l==r)
return(void)(ans[0]+=(i64)f[l]*g[l]);
const int m((l+r)>>1),deg(calcpw2(r-l));

for(int i=0;i!=m-l+1;++i)
tf[i].r=f[l+i];
for(int i=0;i!=r-m;++i)
tg[i].r=g[m+1+i];

DFT(tf,deg);DFT(tg,deg);
for(int i=0;i!=deg;++i)
tf[i]*=tg[i];
IDFT(tf,deg);

for(int i=0;i!=r-l;++i)
ans[l+m+1+i]+=(i64)(tf[i].r+.5);

for(int i=0;i!=deg;++i)
tf[i]=tg[i]=cpx(0,0);

for(int i=0;i!=r-m;++i)
tf[i].r=f[m+1+i];
for(int i=0;i!=m-l+1;++i)
tg[i].r=g[m-i];

DFT(tf,deg);DFT(tg,deg);
for(int i=0;i!=deg;++i)
tf[i]*=tg[i];
IDFT(tf,deg);

for(int i=0;i!=r-l;++i)
ans[i+1]+=(i64)(tf[i].r+.5);

for(int i=0;i!=deg;++i)
tf[i]=tg[i]=cpx(0,0);

calc(l,m);calc(m+1,r);
}

int main(){
polyinit();
for(int T=io,n,m,q;;){
n=io;m=io;q=io;
for(;n;--n)
++f[(int)io];
for(;m;--m)
++g[(int)io];

calc(0,50000);

for(;q;--q)
printf("%lld\n",ans[(int)io]);

if(--T)
memset(f,0,sizeof f),
memset(g,0,sizeof g),
memset(ans,0,sizeof ans);
else return 0;
}

return 0;
}