「Codeforces Round #250」E. The Child and Binary Tree

Problem

Description

给出一个点权集合 C ,对每个 s\in[1, m] 求每个点点权均在 C 内且点权和为 s 的无标号二叉树个数。

答案对 998244353 取模。

Constraints

\forall c\in C:1\le c\le 10^{5},0\le |C|,m\le 10^{5}

Solution

Analysis

f_{n} 为点权和为 n 的答案,列出转移方程:

f_{n}=\sum_{c\in C,c\le n}\sum_{i=0}^{n-c}f_{i}f_{n-c-i}

发现是个卷积的形式。

设数列 \left\{f_{n}\right\} 的 OGF 为 f(x) ,集合 C 的 OGF 为 c(x) ,则有:

f(x)=c(x)f^{2}(x)+1

解方程可得:

f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4c(x)}}{2c(x)}=\frac{2}{1\mp\sqrt{1-4c(x)}}

代入 x=0 可知分母处必须取加号,则:

f(x)=\frac{2}{1\mp\sqrt{1-4c(x)}}

多项式开方并求逆即可。

时间复杂度 O(n \log{n})

Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<algorithm>

using i64=long long;
using uchar=unsigned char;

constexpr int mxdg(262144);
constexpr int p(998244353);
constexpr int hfp(p>>1);
constexpr int proot(3);

namespace IOManager{
constexpr int FILESZ(131072);
char buf[FILESZ];
const char*ibuf=buf,*tbuf=buf;

struct IOManager{
inline char gc()
{return(ibuf==tbuf)&&(tbuf=(ibuf=buf)+fread(buf,1,FILESZ,stdin),ibuf==tbuf)?EOF:*ibuf++;}

template<typename _Tp>
inline operator _Tp(){
_Tp s=0u;char c=gc();
for(;c<48;c=gc());
for(;c>47;c=gc())
s=(_Tp)(s*10u+c-48u);
return s;
}
};
}IOManager::IOManager io;

namespace math{
using Z=int;
using mZ=long long;

template<typename _Tp>
inline void swap(_Tp&x,_Tp&y)
{_Tp z=x;x=y;y=z;}

template<typename _Tp>
inline Z fpow(_Tp v,int n){
Z pw=1;
for(;n;n>>=1,v=(mZ)v*v%p)
if(n&1)pw=(mZ)pw*v%p;
return pw;
}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void inc(x_tp&x,const y_tp&y)
{(p-y<=x)?(x+=y-p):(x+=y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void dec(x_tp&x,const y_tp&y)
{x-=y;(x<0)&&(x+=p);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z pls(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<p-y)?(x+y):(x-p+y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z sub(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)?(x-y+p):(x-y);}

template<typename _Tp>
inline _Tp gcd(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return y?gcd(y,x%y):x;}
template<typename _Tp>
inline _Tp lcm(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return x/gcd(x,y)*y;}
template<typename _Tp,class x_tp>
inline void exgcd(const _Tp&x,const _Tp&y,x_tp&a,x_tp&b){
if(y)exgcd(y,x%y,b,a),b-=x/y*a;
else a=1,b=0;
}

inline Z inv(const Z&v,const Z&mp){
Z x,y;
exgcd(v,mp,x,y);
return x<0?x+mp:x;
}

template<typename _Tp>
inline Z div2(const _Tp&v)
{return(v&1)?(v+p)>>1:(v>>1);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline x_tp Min(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return x<y?x:y;}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline x_tp Max(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return x>y?x:y;}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void chkMin(x_tp&x,const y_tp&y)
{(x>y)&&(x=y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void chkMax(x_tp&x,const y_tp&y)
{(x<y)&&(x=y);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline bool bchkMin(x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x>y)&&(x=y,1);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline bool bchkMax(x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)&&(x=y,1);}
}

namespace poly{
using namespace math;

using poly_t=Z[mxdg];
using poly=Z*const;

inline int calcpw2(const int&n){
int pw2=1;
for(;pw2<n;pw2+=pw2);
return pw2;
}

poly_t wn,iwn;

inline void polyinit(){
const Z wnv=fpow(proot,(p-1)/mxdg),
iwnv=fpow(wnv,p-2);
wn[0]=iwn[0]=1;

Z w=1,iw=1,b=1;
for(int i=1;i!=mxdg;++i){
w=(mZ)w*wnv%p;wn[i]=w;
iw=(mZ)iw*iwnv%p;iwn[i]=iw;
}
}

void DFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=wn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);
}
void IDFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=iwn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);

const Z invn=fpow(n,p-2);
for(Z*i=A;i!=td;++i)
*i=(mZ)*i*invn%p;
}

inline void cp(const Z*const&sl,const Z*const&sr,Z*const&dl,Z*const&dr){
std::copy(sl,sr,dl);
if(sr-sl<dr-dl)
std::fill(dl+(sr-sl),dr,0);
}

void polyinv(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t inv_t;
std::fill(f,f+n+n,0);
f[0]=fpow(h[0],p-2);
for(int t=1;(1<<t)<=n;++t){
const int deg1=1<<t,deg2=deg1<<1;
cp(h,h+deg1,inv_t,inv_t+deg2);

DFT(f,deg2);DFT(inv_t,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
f[i]=(mZ)f[i]*sub(2ll,(mZ)inv_t[i]*f[i]%p)%p;
IDFT(f,deg2);

std::fill(f+deg1,f+deg2,0);
}
}

void polysqrt(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t sqrt_t,inv_t;
std::fill(f,f+n+n,0);
f[0]=1;
for(int t=1;(1<<t)<=n;++t){
const int deg1=1<<t,deg2=deg1<<1;

polyinv(f,inv_t,deg1);

cp(h,h+deg1,sqrt_t,sqrt_t+deg2);

DFT(sqrt_t,deg2);DFT(inv_t,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
sqrt_t[i]=(mZ)inv_t[i]*sqrt_t[i]%p;
IDFT(sqrt_t,deg2);

for(int i=deg1>>1;i!=deg1;++i)
f[i]=div2(sqrt_t[i]);

std::fill(f+deg1,f+deg2,0);
}
}
}


using namespace poly;

poly_t C,rt;

int main(){
polyinit();

int n=io;const int m((int)io+1),deg=calcpw2(m);

C[0]=1;
for(int i;n;--n)
if((i=io)<m)
C[i]=998244349;

polysqrt(C,rt,deg);
inc(rt[0],1);
polyinv(rt,C,deg);

int*const td=C+m;
for(int*i=C+1;i!=td;++i)
printf("%d\n",*i<=hfp?*i+*i:(*i+*i-p));

return 0;
}