「8VC Venture Cup 2017-Elimination Round」G. PolandBall and Many Other Balls

Problem

Description

n 个球排成一列,定义一组球为单个球或相邻的两个球。在一种方案中一个球最多属于一组。
给定 k ,要求对于 m\in[1, k] 的每个 m 求出从序列中选出恰好 m 组球的方案数。

答案对 998244343 取模。

Constraints

1\le n\le 10^{9},1\le m<2^{15}

Solution

Analysis

f_{i,j} 为考虑前 i 个球,已经选出了 j 组的方案数。

显然有 DP 方程:

f_{i , j} = f_{i-1 , j}+f_{i-1 , j-1}+f_{i-2 , j-1}

f_{0 , 0} = f_{1 , 0} = f_{1 , 1} = 1

\left\{f_{n , j}\right\} 的 OGF 为 f_{n}(x)

f_{n}(x) = \sum_{i = 0}^{k}f_{n , i}x^{i}

则根据 DP 方程有:

f_{n}(x) = \begin{cases} 1 & n = 0\\ x+1 & n = 1\\ (x + 1)f_{n-1}(x)+xf_{n-2}(x)& 2\le n \end{cases}

容易得到这个递推式的特征方程:

\lambda^{2}(x) = (x + 1)\lambda(x)+x

解得:

\begin{cases} \lambda_{0}(x) &= \displaystyle{\frac{x+1+\sqrt{x^{2}+6x+1}}{2}}\\ \lambda_{1}(x) &= \displaystyle{\frac{x+1-\sqrt{x^{2}+6x+1}}{2}} \end{cases}

f_{n}(x) 具有如下形式:

f_{n}(x)=c_{0}(x)\lambda_{0}^{n-1}(x)+c_{1}(x)\lambda_{1}^{n-1}(x)

代入 f_{0}(x)=1 , f_{1}(x)=x+1 可得:

\begin{cases} c_{0}(x)\lambda_{0}^{-1}(x)+c_{1}(x)\lambda_{1}^{-1}(x)&=1\\ c_{0}(x)+c_{1}(x)&=x+1 \end{cases}

解得:

\begin{cases} c_{0}(x)&=\displaystyle{\frac{\lambda_{0}^{2}(x)}{\lambda_{0}(x)-\lambda_{1}(x)}}\\ c_{1}(x)&=\displaystyle{\frac{\lambda_{1}^{2}(x)}{\lambda_{0}(x)-\lambda_{1}(x)}} \end{cases}

即:

f_{n}(x)=\frac{\lambda_{0}^{n+1}(x)-\lambda_{1}^{n+1}(x)}{\lambda_{0}(x)-\lambda_{1}(x)}=\frac{\displaystyle{\left(\frac{x+1+\sqrt{x^{2}+6x+1}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{x+1-\sqrt{x^{2}+6x+1}}{2}\right)^{n+1}}}{\sqrt{x^{2}+6x+1}}

答案即 f_{n}(x) 的前 k 项系数。
又可以注意到有 \forall n<m:f_{n,m}=0 ,且 \lambda_{1}(x) 的最低次项次数为 1 ,亦即 \lambda_{1}^{n+1}(x) 的最低项次数为 n+1 。故 \lambda_{1}^{n+1}(x) 一项可以忽略。

时间复杂度 O(n \log{n})

Code

参照 zyz 神仙的板子对自己的多项式板子进行了优化并跑了 rk1(雾

rank-cf

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<algorithm>

using i64=long long;
using uchar=unsigned char;

constexpr int mxdg(65536);
constexpr int p(998244353);
constexpr int proot(3);

inline int io(){
static int _;
return scanf("%d",&_),_;
}

namespace math{
using Z=int;
using mZ=long long;

template<typename _Tp>
inline void swap(_Tp&x,_Tp&y)
{_Tp z=x;x=y;y=z;}

template<typename _Tp>
inline Z fpow(_Tp v,int n){
Z pw=1;
for(;n;n>>=1,v=(mZ)v*v%p)
if(n&1)pw=(mZ)pw*v%p;
return pw;
}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void inc(x_tp&x,const y_tp&y)
{(p-y<=x)?(x+=y-p):(x+=y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void dec(x_tp&x,const y_tp&y)
{x-=y;(x<0)&&(x+=p);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z pls(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<p-y)?(x+y):(x-p+y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline Z sub(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)?(x-y+p):(x-y);}

template<typename _Tp>
inline _Tp gcd(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return y?gcd(y,x%y):x;}
template<typename _Tp>
inline _Tp lcm(const _Tp&x,const _Tp&y)
{return x/gcd(x,y)*y;}
template<typename _Tp,class x_tp>
inline void exgcd(const _Tp&x,const _Tp&y,x_tp&a,x_tp&b){
if(y)exgcd(y,x%y,b,a),b-=x/y*a;
else a=1,b=0;
}

inline Z inv(const Z&v,const Z&mp){
Z x,y;
exgcd(v,mp,x,y);
return x<0?x+mp:x;
}

template<typename _Tp>
inline Z div2(const _Tp&v)
{return(v&1)?(v+p)>>1:(v>>1);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline x_tp Min(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return x<y?x:y;}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline x_tp Max(const x_tp&x,const y_tp&y)
{return x>y?x:y;}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void chkMin(x_tp&x,const y_tp&y)
{(x>y)&&(x=y);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline void chkMax(x_tp&x,const y_tp&y)
{(x<y)&&(x=y);}

template<typename x_tp,typename y_tp>
inline bool bchkMin(x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x>y)&&(x=y,1);}
template<typename x_tp,typename y_tp>
inline bool bchkMax(x_tp&x,const y_tp&y)
{return(x<y)&&(x=y,1);}
}

namespace Hashmap{
using namespace math;

template<typename key_tp,typename val_tp>
struct link_t{
key_tp key;
val_tp val;
link_t<key_tp,val_tp>*las;

link_t():key(key_tp(0)),val(val_tp(0)),las(nullptr){}

inline link_t* init(const key_tp&_key,const val_tp&_val,link_t<key_tp,val_tp>*const&ls)
{return key=_key,val=_val,las=ls,this;}
};

link_t<Z,Z>lnk_pool[100007*10];

template<typename key_tp,typename val_tp>
struct hashmap{
static constexpr int hashp=100007;

using link=link_t<key_tp,val_tp>;

link *lnk[hashp],*lnk_alc;

hashmap():lnk_alc(lnk_pool-1){}

inline val_tp&operator[](const key_tp&key){
const val_tp hash_key=key%hashp;
for(link*o=lnk[hash_key];o;o=o->las)
if(o->key==key)
return o->val;
lnk[hash_key]=(++lnk_alc)->init(key,0,lnk[hash_key]);
return lnk[hash_key]->val;
}

inline bool count(const key_tp&key){
const val_tp hash_key=key%hashp;
for(link*o=lnk[hash_key];o;o=o->las)
if(o->key==key)
return true;
return false;
}

inline void clear(){
lnk_alc=lnk_pool-1;
memset(lnk,0,sizeof lnk);
}
};
}

namespace poly{
using namespace math;
using namespace Hashmap;

using poly_t=Z[mxdg];
using poly=Z*const;

inline int calcpw2(const int&n){
int pw2=1;
for(;pw2<n;pw2+=pw2);
return pw2;
}

poly_t wn,iwn;
Z inv[mxdg+1];
constexpr int rt_blk(31596);
constexpr int invpw_blk(393213064);
Hashmap::hashmap<Z,Z>lg;

inline void polyinit(){
const Z wnv=fpow(proot,(p-1)/mxdg),
iwnv=fpow(wnv,p-2);
wn[0]=iwn[0]=inv[0]=inv[1]=1;

Z w=1,iw=1,b=1;
for(int i=1;i!=mxdg;++i){
w=(mZ)w*wnv%p;wn[i]=w;
iw=(mZ)iw*iwnv%p;iwn[i]=iw;
}
for(int i=2;i<=mxdg;++i)
inv[i]=(mZ)inv[p%i]*(p-p/i)%p;
for(int t=0;t<rt_blk;++t,b=(mZ)b*proot%p)
lg[b]=t;
}

inline Z root(const Z&v,const int&k){
if(k==1||v<2)
return v;
Z pw=v;
for(int t=0;t<p;t+=rt_blk,pw=(mZ)pw*invpw_blk%p)
if(lg.count(pw))
return fpow(proot,(mZ)(t+lg[pw])*math::inv(k,p-1)%(p-1));
return-1;
}

void DFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=wn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);
}
void IDFT(poly&A,const int&n){
for(int i=0,j=0;i!=n;++i){
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
for(int k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
}
Z*const td=A+n;
for(int l=1,tp=mxdg>>1;l!=n;l+=l,tp>>=1)
for(Z*i=A,*w,z;i!=td;i+=l+l)
for(int j=(w=iwn,0);j!=l;++j,w+=tp)
z=(mZ)i[j+l]**w%p,
i[j+l]=sub(i[j],z),
inc(i[j],z);

const Z invn=fpow(n,p-2);
for(Z*i=A;i!=td;++i)
*i=(mZ)*i*invn%p;
}

inline void cp(const Z*const&sl,const Z*const&sr,Z*const&dl,Z*const&dr){
std::copy(sl,sr,dl);
if(sr-sl<dr-dl)
std::fill(dl+(sr-sl),dr,0);
}

void polyder(const poly&f,poly&df,const int&n){
for(int i=1;i!=n;++i)
df[i-1]=(mZ)f[i]*i%p;
df[n-1]=0;
}

void polyint(const poly&f,poly&intf,const int&n){
for(int i=n-1;i;--i)
intf[i]=(mZ)f[i-1]*inv[i]%p;
intf[0]=0;
}

void polyinv(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t inv_t;
std::fill(f,f+n+n,0);
f[0]=fpow(h[0],p-2);
for(int t=1;(1<<t)<=n;++t){
const int deg1=1<<t,deg2=deg1<<1;
cp(h,h+deg1,inv_t,inv_t+deg2);

DFT(f,deg2);DFT(inv_t,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
f[i]=(mZ)f[i]*sub(2ll,(mZ)inv_t[i]*f[i]%p)%p;
IDFT(f,deg2);

std::fill(f+deg1,f+deg2,0);
}
}

void polyln(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t ln_t;
assert(h[0]==1);
const int n2=n<<1;

polyder(h,f,n);
std::fill(f+n,f+n2,0);
polyinv(h,ln_t,n);

DFT(f,n2);DFT(ln_t,n2);
for(int i=0;i!=n2;++i)
f[i]=(mZ)f[i]*ln_t[i]%p;
IDFT(f,n2);

polyint(f,f,n);
std::fill(f+n,f+n2,0);
}

void polyexp(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t exp_t;
assert(h[0]==0);
std::fill(f,f+n+n,0);
f[0]=1;
for(int t=1;(1<<t)<=n;++t){
const int deg1=1<<t,deg2=deg1<<1;

polyln(f,exp_t,deg1);
exp_t[0]=sub(h[0]+1,exp_t[0]);
for(int i=1;i!=deg1;++i)
exp_t[i]=sub(h[i],exp_t[i]);
std::fill(exp_t+deg1,exp_t+deg2,0);

DFT(f,deg2);DFT(exp_t,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
f[i]=(mZ)f[i]*exp_t[i]%p;
IDFT(f,deg2);

std::fill(f+deg1,f+deg2,0);
}
}

void polysqrt(const poly&h,poly&f,const int&n){
static poly_t sqrt_t,inv_t;
std::fill(f,f+n+n,0);
f[0]=root(h[0],2);
for(int t=1;(1<<t)<=n;++t){
const int deg1=1<<t,deg2=deg1<<1;

polyinv(f,inv_t,deg1);

cp(h,h+deg1,sqrt_t,sqrt_t+deg2);

DFT(sqrt_t,deg2);DFT(inv_t,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
sqrt_t[i]=(mZ)inv_t[i]*sqrt_t[i]%p;
IDFT(sqrt_t,deg2);

for(int i=deg1>>1;i!=deg1;++i)
f[i]=div2(sqrt_t[i]);

std::fill(f+deg1,f+deg2,0);
}
}
}

using namespace poly;

poly_t f,g,rt,invrt;

int main(){
polyinit();

const int n=io()+1,k=io()+1,deg=32768,deg2=deg+deg;

f[0]=1;f[1]=6;f[2]=1;
polysqrt(f,rt,deg);
polyinv(rt,invrt,deg);

g[0]=div2(rt[0]+1);
g[1]=div2(rt[1]+1);
for(int i=2;i!=deg;++i)
g[i]=div2(rt[i]);

polyln(g,f,deg);
for(int i=0;i!=deg;++i)
f[i]=(i64)f[i]*n%p;
polyexp(f,g,deg);

DFT(g,deg2);DFT(invrt,deg2);
for(int i=0;i!=deg2;++i)
g[i]=(i64)g[i]*invrt[i]%p;
IDFT(g,deg2);

const int lw=Min(n,k);
for(int i=1;i!=lw;++i)
printf("%d ",g[i]);
for(int i=lw;i!=k;++i)
putchar('0'),putchar(' ');

return 0;
}