「Learning Notes」多项式反三角函数

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Description

给定多项式 f(x) ,求模 x^{n} 意义下的 \arcsin{f(x)}, \arccos{f(x)} \arctan{f(x)}

Method

仿照求多项式 \ln 的方法,对反三角函数求导再积分可得:

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{x} &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \arcsin{x} &= \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{x} &= - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \arccos{x} &= - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{x} &= \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \arctan{x} &= \int \frac{1}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x \end{aligned}

那么代入 f(x) 就有:

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{f(x)} &= \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f^{2}(x)}} \\ \arcsin{f(x)} &= \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f^{2}(x)}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{f(x)} &= - \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f^{2}(x)}} \\ \arccos{f(x)} &= - \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f^{2}(x)}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{f(x)} &= \frac{f'(x)}{1 + f^{2}(x)} \\ \arctan{f(x)} &= \int \frac{f'(x)}{1 + f^{2}(x)} \mathrm{d} x \end{aligned}

直接按式子求就完了。